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FÜD Enzyklopädie


Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität

Dr. Klaus Dethloff durch Christian Gottschall

Einführung in die Logik

        Inhaltsverzeichnis



  • 1 Vorwort


  • 2 Grundbegriffe


  • 3 Syntax


  • 3.1 Syntaktischer Schlussbegriff


  • 3.2 Bausteine


  • 3.3 Formationsregeln


  • 3.4 Exkurs: Syntaxbäume


  • 3.5 Exkurs: Polnische Notation


  • 3.6 Transformationsregeln (Schlussregeln)


  • 3.6.1 Regel der Annahme (A)


  • 3.6.2 Regel der Und-Einfuhrung (AE)


  • 3.6.3 Regel der Und-Beseitigung (Aß)


  • 3.6.4 Regel der Oder-Einführung (VE)


  • 3.6.5 Regel der Oder-Beseitigung (Vß)


  • 3.6.6 Regel der Pfeil-Einführung (->£)


  • 3.6.7 Regel der Pfeil-Beseitigung (> B, modus ponendo ponens)


  • 3.6.8 Regel der Negationseinfuhrung (->E, schwache reductio ad absurdum)


  • 3.6.9 Regel der Nicht-Nicht-Beseitigung ( - B, duplex negatio confirmat)


  • 3.6.10 Regel der Allquantor-Einfuhrung (/\E)


  • 3.6.11 Regel der Allquantor-Beseitigung (/\ B)


  • 3.6.12 Regel der Existenzquantor-Einfuhrung {\J E)


  • 3.6.13 Regel der Existenzquantor-Beseitigung (\J B)


  • 3.6.14 Regel der Identitätseinführung (= E)


  • 3.6.15 Regel der Identitätsbeseitigung (= B, Substitution salva veritate)


  • 4 Semantik


  • 4.1 Semantik der Sprache der Aussagenlogik


  • 4.1.1 Semantik der Satzbuchstaben


  • 4.1.2 Semantik der aussagenlogischen Konnektive


  • 4.1.3 Exkurs: Alle aussagenlogischen Konnektive


  • 4.1.4 Exkurs: Funktionale Vollständigkeit


  • 4.2 Semantischer Schlussbegriff I: Aussagenlogik


  • 4.3 Eigennamen


  • 4.3.1 Eigentliche Eigennamen (rigid designators)


  • 4.3.2 Kennzeichnungen (definite descriptions)


  • 4.3.3 Pronomen im Singular


  • 4.3.4 Kollektive Eigennamen (mass terms, non count nouns, singularia tantum)


  • 4.4 Prädikate


  • 4.5 Quantoren


  • 4.6 Semantik der Sprache der Prädikatenlogik


  • 4.6.1 Das Diskursuniversum


  • 4.6.2 Individuenkonstanten


  • 4.6.3 Prädikatbuchstaben


  • 4.6.4 Wahrheitsregeln fur Prädikate


  • 4.6.5 Quantoren


  • 4.7. Semantischer Schlussbegriff II: Prädikatenlogik


  • 4.8 Exkurs: Begriffe


  • 4.9 Übersetzungspraxis


  • 4.9.1 Übersetzung von Prädikaten und Begriffen


  • 4.9.2 Übersetzung von Quantoren


  • 4.9.3 Übersetzung von Eigennamen


  • 5 Weiterführende Fragen der Semantik


  • 5.1 Russells Probleme


  • 5.1.1 Das Problem der Substitution salva veritate


  • 5.1.2 Das Problem des Tertium non datur


  • 5.1.3 Das Problem der negativen Existenzsätze


  • Russells Lösung: seine Kennzeichnungstheorie


  • 5.2.1 Die Lösung des Problems der Substitution salva veritate


  • 5.2.2 Die Losung des Problems des Tertium non datur


  • 5.2.3 Die Lösung des Problems der negativen Existenzsätze


  • 5.3 Freges Bedeutungstheorie


  • 6 Anhang


  • 6.1 Das logische Quadrat


  • 6.2 Verwendete Zeichen und Abkürzungen


  • 6.2.1 Logische Zeichen


  • 6.2.2 Einige griechische Buchstaben


  • 7 Literatur




1. Vorwort


(...) Mit Ausnahme der Formulierung stammt fast nichts in diesem Skriptum von mir. Der überwiegende Teil des hier geäußerten Wissens stammt aus Dr. Klaus Dethloffs Vorlesung Einführung in die Logik", der Rest großteils aus den im Literaturverzeichnis genannten Werken.
Fehlerberichte und Rückfragen bitte ich an die folgende Adresse zu richten: Christian Gottschall, chris@logik.phl.univie.ac. at


2. Grundbegriffe


Eine Aussage ist ein Satz einer natürlichen Sprache, der wahr oder falsch sein Aussage kann. In der Linguistik wird statt des Wortes Aussage" häufig "deklarativer Satz" gebraucht. Aussagen sind Es regnet", "5+5=22" oder Es gibt keine größte Primzahl". Keine Aussagen sind Sätze wie "Wie spät ist es?", "Mahlzeit!" oder Blubb".

Oft werden die Werter "Aussage" und Satz" in logischen Texten synonym Satz gebraucht, so auch im vorliegenden. Das Wort ""Satz" bezeichnet daher von nun an nicht mehr irgendwelche Sätze, sondern nur noch Aussagen.
Ein Axiom ist eine Aussage, an die man so fest glaubt, dass man es nicht für nötig hält, sie zu beweisen.
Eine Aussage, die aus logischen Gründen stets wahr ist, wird Tautologie genannt.
Ein Argument ist eine Aneinanderreihung von Sätzen (Aussagen). Ein Argument dieser Sätze (in der Regel der letzte) ist die Konklusion, alle Übrigen sind die Prämissen. Ein Argument ist gültig, wenn die Konklusion aus den Prämissen folgt, und ungültig, wenn dies nicht der Fall ist. Es gibt auch Argumente, in denen es eine Konklusion, aber keine Prämissen gibt.



Einführung in die Logik 1

Logik untersucht die Gültigkeit von Argumenten.

In diesem Skriptum wird eine logische Sprache vorgestellt, die Sprache der Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität. Eine Definition ist an dieser Stelle leider noch nicht möglich.


Aussagenlogik und Prädikatenlogik

Als Aussagenlogik wird jener Teil der Pradikatenlogik bezeichnet, der die Beziehungen untersucht, die zwischen Aussagesätzen bestehen. Da die Aussagenlogik ein echtes Teilgebiet der Pradikatenlogik ist, wird in diesem Skriptum grundsätzlich jene behandelt und werden an geeigneter Stelle die Einschränkungen dieser genannt. Fuhr den Anfang muss ich mich auf die Feststellung beschranken, dass die Prädikatenlogik im Gegensatz zur Aussagenlogik auch die innere Struktur der Aussagen näher betrachtet (siehe auch Kapitel 4.1).


Objektsprache und Metasprache

Wenn man sich wissenschaftlich mit einer Sprache beschäftigt, dann ist es wichtig, zwischen Objektsprache und Metasprache zu unterscheiden. Die Objektsprache ist jene Sprache, die der Gegenstand (das Objekt) der Untersuchung ist - in unserem Fall also die logische Sprache. Die Metasprache ist diejenige Sprache, in der über die Objektsprache gesprochen wird, mit anderen Worten die Sprache, in der die Forschungsergebnisse" ausgedruckt werden. In unserem Fall handelt es sich bei der Metasprache um die deutsche Sprache. Bei der Untersuchung einer natürlichen Sprache können Objekt- und Metasprache zusammenfallen; so ist es ohne weiteres möglich (und trägt sich auch oft zu), dass eine Grammatik der englischen Sprache selbst in Englisch verfasst ist.


Syntax und Morphologie

Als Syntax wird die Lehre von der Form" einer natürlichen oder künstlichen Sprache bezeichnet. Syntax beschäftigt sich zum Beispiel mit der Frage, wie die Werter (allgemeiner: Bausteine) einer Sprache angeordnet werden mussten, damit Satze entstehen. Anstelle des Wortes "Syntax" wird bei einer logischen Sprache auch das Wort Morphologie" gebraucht.


Semantik

Semantik ist die Lehre von der Bedeutung einer Sprache. Sie untersucht insbesondere, welche Bedeutung die einzelnen Bausteine einer Sprache und welche Bedeutung Satze haben, die aus diesen Bausteinen geformt werden.


Pragmatik

Pragmatik untersucht, welche Wirkung die Bausteine und Sätze einer Sprache auf den Hörer bzw. Leser haben. Die Pragmatik wird üblicherweise nicht zur formalen Logik gezählt und kommt in diesem Skriptum nicht zur Sprache.


Bausteine

Die Bausteine einer Sprache sind jene Dinge", aus denen die Satze dieser Sprache zusammengesetzt sind.
Als Bausteine einer natürlichen Sprache kann man ihre Wörter und Interpunktionszeichen betrachten. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Wörter ihrerseits als zusammengesetzt zu betrachten und nicht sie, sondern die Buchstaben und Interpunktionszeichen als Bausteine zu betrachten.
In einer künstlichen logischen Sprache stellt sich die Frage, ob Wörter oder Buchstaben als ihre Bausteine betrachtet werden sollen, in der Regel nicht, weil Werter" und "Buchstaben" zusammenfallen.Die Bausteine einer Sprache sind jene Dinge", aus denen die Satze dieser Sprache zusammengesetzt sind. Als Bausteine einer natürlichen Sprache kann man ihre Wörter und Interpunktionszeichen betrachten. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Wörter ihrerseits als zusammengesetzt zu betrachten und nicht sie, sondern die Buchstaben und Interpunktionszeichen als Bausteine zu betrachten. In einer künstlichen logischen Sprache stellt sich die Frage, ob Wörter oder Buchstaben als ihre Bausteine betrachtet werden sollen, in der Regel nicht, weil Werter" und "Buchstaben" zusammenfallen.


Formationsregeln

Formationsregeln geben an, wie die Bausteine einer Sprache angeordnet werden mussten, damit Sätze dieser Sprache entstehen.


Linguistik

Die Linguistik (Sprachwissenschaft) beschäftigt sich unter anderem damit, Formationsregeln fuhr natürliche Sprachen aufzustellen. Es ist bis heute nicht gelungen, irgendeine natürliche Sprache durch Formationsregeln vollständig zu beschreiben.


Transformationsregeln

Transformationsregeln beschreiben, auf welche Weise Satze umgeformt werden dürfen, ohne dass sie bestimmte Eigenschaften, die sie vor der Umformung hatten, verlieren. Im Fall der hier vorgestellten logischen Sprache sind die Transformationsregeln so gewählt, dass bestehende Sätze nur zu solchen Sätzen umgeformt werden konnten, die aus den bestehenden Sätzen folgen.


2. Syntax


Syntax beschäftigt sich mit der "Form" einer Sprache, gibt also an, welche Zeichen (Bausteine") in der Sprache vorkommen, wie diese Zeichen angeordnet werden dürfen, damit Sätze entstehen, und wie Sätze umgeformt werden konnten, ohne dass sie bestimmte Eigenschaften verlieren, die sie vor der Umformung hatten.


Natürliches Schließen und Kalkül

Ein System, das die Syntax einer formalen Sprache vollständig beschreibt, heißt Kalkül. Im vorliegenden Skriptum wird wie zumeist auch in der Vorlesung ein Kalkül des natürlichen Schließens, ein Regelkalkül, behandelt. Ein solcher Kalkul zeichnet sich dadurch aus, dass es etliche Transformationsregeln, aber keine Axiome gibt. Im Gegensatz dazu gibt es z.B. axiomatische Kalküle und Baumkalküle. Ein Kalkül des natürlichen Schließens kommt dem natürlichen Schließen näher als ein axiomatischer Kalkül (daher der Name) und ist üblicherweise leichter zu handhaben als letzterer.
Die Bausteine der in diesem Skriptum vorgestellten logischen Sprache werden in Kapitel 3.2 (Seite 14) vollständig aufgezahlt. Die zulässigen Sätze konnen nicht aufgelistet werden, weil es ihrer unendlich viele gibt. Statt einer Aufzahlung gibt es Regeln, die beschreiben, wie gultige Sätze gebildet werden. Diese Regeln heißen Formationsregeln und werden in Kapitel 3.3 (Seite 16) dargestellt. Zuletzt gibt es die Transformationsregeln, die in Kapitel 3.6 (Seite 23) zur Sprache kommen. Sie erlauben es, einen Satz so umzuformen, dass aus ihm ein anderer Satz entsteht, der aus dem ersten Satz folgt.

PD: Kalküle des natürlichen Schließens sind auch als "Gentzen style calculi" oder "Jaskowsky style calculi" bekannt; Gerhard Gentzen und Stanislaw Jaskowsky erfanden unabhängig voneinander diese Art von Kalkülen und publizierten ihre Arbeiten 1934. Jan Wolenski zufolge stammen Jaskowskys Ergebnisse allerdings bereits aus dem Jahre 1927. Vgl. Gerhard Gentzen: Untersuchungen uber das logische Schließen", in: Mathematische Zeitschrift 39, 1934-1935, nachgedruckt in: Karel Berka/Lothar Kreiser: Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, Berlin: Akademie 41986; Stanislaw Jaskowsky: On the Rules of Suppositions in Formal Logic", Warschau: 1934.


3.1 Syntaktischer Schlussbegriff


Mit Hilfe der Transformationsregeln ist es möglich, ein Argument, das zuvor in die logische Sprache ubersetzt wurde, auf seine Gültigkeit hin zu untersuchen: Wenn es moglich ist, aus den Prämissen durch (mehrfache) Anwendung der Transformationsregeln die Konklusion herzuleiten, dann ist das Argument syntaktisch gültig.



Quelle: Christian Gottschall, Universitiät Wien


Weitere Informationen zum Thema finden Sie hier.








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